11.2 RDD 原理与识别策略

"Regression discontinuity is one of the most credible quasi-experimental strategies.""断点回归是最可信的准实验策略之一。"— Guido Imbens & Thomas Lemieux, RDD Review Authors (RDD综述作者)

从潜在结果框架到局部随机化：RDD 的理论基础

本节概要

在本节中，我们将深入探讨：

Sharp RDD 的严格数学推导
Fuzzy RDD 与工具变量（IV）的关系
局部平均处理效应（LATE）的含义
参数 vs 非参数估计方法
带宽选择的权衡

Sharp RDD 的识别理论

潜在结果框架的回顾

Rubin 因果模型中，每个个体都有两个潜在结果：

：如果接受处理
：如果不接受处理

个体处理效应：

根本性问题：我们永远无法同时观察到和！

观察到的结果：

其中是处理指示变量。

RDD 的识别逻辑

核心想法：在断点附近，处理分配"准随机"。

Sharp RDD 的分配规则：

关键假设：连续性假设（Continuity Assumption）

对于，假设：

直觉：

在断点处，潜在结果函数是连续的
换句话说，驱动变量的微小变化不会导致潜在结果的跳跃

识别策略的推导

观察到的条件期望：

在断点右侧（，所有人都接受处理）：

在断点左侧（，所有人都不接受处理）：

RDD 估计量：

为什么这是因果效应？

根据连续性假设：

关键点：

RDD 估计的是断点处的处理效应，而非总体ATE
这是一个局部效应（Local Average Treatment Effect, LATE）
外推到其他值需要额外的假设（如效应同质性）

Fuzzy RDD：不完美的断点规则

Fuzzy RDD 的动机

在现实中，处理分配规则可能不完美：

例子 1：大学录取

规则：高考分数 ≥ 600 → 录取
现实：有特殊录取（体育特长、艺术生、校长推荐等）
结果：，

例子 2：医疗保险（Medicare）

规则：年龄 ≥ 65 → 自动获得Medicare
现实：有些人提前购买，有些人选择不参加
结果：处理在断点处跳跃，但不是从0到1

Fuzzy RDD 的定义

Sharp RDD：

Fuzzy RDD：

但不一定是完美的0和1。

关键条件：

即：处理概率在断点处有跳跃。

Fuzzy RDD 的识别：工具变量方法

核心思想：将断点指示变量作为工具变量（IV）！

定义工具变量：

IV 的三个关键条件：

相关性（Relevance）：与处理相关
排他性（Exclusion）：只通过影响（控制后）
单调性（Monotonicity）：跨过断点不会使任何人从处理变为不处理

Fuzzy RDD 估计量：

简化形式（Reduced Form）：

第一阶段（First Stage）：

Fuzzy RDD 效应（Wald 估计量）：

Fuzzy RDD 的因果解释

局部平均处理效应（LATE）：

Fuzzy RDD 估计的是顺从者（Compliers）的处理效应。

四类个体（基于潜在处理状态）：

Always-takers：（无论是否跨断点都接受处理）
Never-takers：（无论是否跨断点都不接受处理）
Compliers：（只有跨过断点才接受处理）
Defiers：（跨过断点反而不接受处理）

单调性假设排除了 Defiers 的存在。

LATE 定理（Imbens & Angrist 1994）：

解释：

Fuzzy RDD 估计的是顺从者（那些因为跨过断点而改变处理状态的人）的平均处理效应
对于 Always-takers 和 Never-takers，我们无法识别他们的处理效应
如果 Compliers 与总体不同，LATE ≠ ATE

参数 vs 非参数估计方法

方法 1：全局多项式回归

模型（阶多项式）：

优点：

简单易懂
使用所有数据，效率高

缺点：

对函数形式假设敏感（选择很关键）
远离断点的数据会影响估计（可能引入偏差）
Gelman & Imbens (2019) 警告：不要使用的多项式！

Python 实现：

python

import statsmodels.formula.api as smf

# 二阶多项式
model = smf.ols('Y ~ D + X_c + I(X_c**2) + D:X_c + D:I(X_c**2)', data=df).fit()
print(model.summary())

方法 2：局部线性回归（推荐）

思路：只使用断点附近的数据，拟合线性模型。

模型：

带宽（Bandwidth）：

太小：方差大（数据少）
太大：偏差大（函数形式假设可能错误）

优点：

对函数形式假设最弱（只需局部线性）
理论上最优（Fan & Gijbels 1996）
现代软件（如 rdrobust）自动选择最优带宽

Python 实现：

python

# 手动选择带宽
h = 10
df_local = df[np.abs(df['X_c']) <= h]
model_local = smf.ols('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df_local).fit()

# 使用 rdrobust（自动带宽）
from rdrobust import rdrobust
result = rdrobust(y=df['Y'], x=df['X'], c=cutoff)
print(result)

方法 3：核加权局部线性回归

进一步改进：给离断点更近的观测更大的权重。

三角核函数（Triangular Kernel）：

权重：

加权回归：

Python 实现：

python

from statsmodels.regression.linear_model import WLS

# 计算权重
df['weight'] = np.maximum(0, 1 - np.abs(df['X_c']) / h)

# 加权最小二乘
model_wls = smf.wls('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df, weights=df['weight']).fit()
print(model_wls.summary())

️ 带宽选择的权衡

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）

小带宽 ：

优点：偏差小（函数近似更准确）
缺点：方差大（样本量少，估计不稳定）

大带宽 ：

优点：方差小（样本量大，估计稳定）
缺点：偏差大（可能违反局部线性假设）

均方误差（MSE）：

最优带宽 ：最小化 MSE。

最优带宽选择方法

1. Imbens-Kalyanaraman (IK) 方法（2012）

思路：基于均方误差（MSE）的渐近展开，推导最优带宽。

公式（简化版）：

其中：

：残差方差
：驱动变量在断点处的密度
：左侧潜在结果函数的二阶导数

Python 实现：

python

from rdrobust import rdbwselect

# 自动选择 IK 带宽
bw = rdbwselect(y=df['Y'], x=df['X'], c=cutoff, bwselect='mserd')
print(f"IK Bandwidth: {bw.bws[0]}")

2. Calonico-Cattaneo-Titiunik (CCT) 方法（2014）

改进：

考虑有限样本的偏差校正
提供稳健的置信区间

两种带宽：

主带宽（Main Bandwidth）：用于估计点估计
偏差带宽（Bias Bandwidth）：用于估计和校正偏差

Python 实现（rdrobust 默认使用 CCT）：

python

from rdrobust import rdrobust

# CCT 方法（默认）
result_cct = rdrobust(y=df['Y'], x=df['X'], c=cutoff)
print(result_cct)

交叉验证（Cross-Validation）

留一法交叉验证：

对每个观测，移除它
用剩余数据拟合模型（使用带宽）
预测
计算预测误差：
重复所有观测，选择最小化的

注意：只使用断点一侧的数据进行交叉验证（避免使用跳跃本身）。

Python 完整示例：Sharp vs Fuzzy RDD

示例 1：Sharp RDD

python

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.formula.api as smf
from rdrobust import rdrobust, rdplot

# 设置
np.random.seed(42)
n = 2000
c = 0

# 生成驱动变量
X = np.random.normal(0, 10, n)

# Sharp RDD：处理完全由断点决定
D = (X >= c).astype(int)

# 生成结果变量
# DGP: Y = 50 + 0.5*X + 0.01*X^2 + 10*D + noise
true_effect = 10
Y = 50 + 0.5 * X + 0.01 * X**2 + true_effect * D + np.random.normal(0, 5, n)

df = pd.DataFrame({'X': X, 'D': D, 'Y': Y, 'X_c': X - c})

# 估计（使用 rdrobust）
result_sharp = rdrobust(y=df['Y'], x=df['X'], c=c)
print("=" * 70)
print("Sharp RDD 结果")
print("=" * 70)
print(result_sharp)

# 可视化
rdplot(y=df['Y'], x=df['X'], c=c,
       title='Sharp RDD',
       x_label='Running Variable',
       y_label='Outcome')
plt.show()

示例 2：Fuzzy RDD

python

# Fuzzy RDD：处理不完美
# 跨过断点，处理概率从0.2跳到0.8
np.random.seed(42)

# 潜在处理状态
prob_treat = 0.2 + 0.6 * (X >= c)  # 左侧20%，右侧80%
D_fuzzy = np.random.binomial(1, prob_treat)

# 生成结果变量（真实效应还是10）
Y_fuzzy = 50 + 0.5 * X + 0.01 * X**2 + true_effect * D_fuzzy + np.random.normal(0, 5, n)

df_fuzzy = pd.DataFrame({'X': X, 'D': D_fuzzy, 'Y': Y_fuzzy, 'X_c': X - c})

# Fuzzy RDD 估计（自动检测并使用IV）
result_fuzzy = rdrobust(y=df_fuzzy['Y'], x=df_fuzzy['X'], c=c, fuzzy=df_fuzzy['D'])
print("\n" + "=" * 70)
print("Fuzzy RDD 结果")
print("=" * 70)
print(result_fuzzy)

# 检查第一阶段（First Stage）
print("\n第一阶段检验：")
first_stage = rdrobust(y=df_fuzzy['D'], x=df_fuzzy['X'], c=c)
print(f"处理概率的跳跃: {first_stage.coef[0]:.3f}")
print(f"F-统计量: {first_stage.z[0]**2:.2f}")

示例 3：不同带宽的敏感性分析

python

# 尝试不同带宽
bandwidths = [5, 10, 15, 20, 25]
results = []

for h in bandwidths:
    df_local = df[np.abs(df['X_c']) <= h]
    model = smf.ols('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df_local).fit()

    results.append({
        'bandwidth': h,
        'effect': model.params['D'],
        'se': model.bse['D'],
        'n': len(df_local)
    })

results_df = pd.DataFrame(results)

print("\n" + "=" * 70)
print("带宽敏感性分析")
print("=" * 70)
print(results_df.to_string(index=False))

# 可视化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))
ax.errorbar(results_df['bandwidth'], results_df['effect'],
            yerr=1.96 * results_df['se'],
            fmt='o-', capsize=5, capthick=2, linewidth=2, markersize=8)
ax.axhline(y=true_effect, color='red', linestyle='--', linewidth=2,
           label=f'True Effect = {true_effect}')
ax.set_xlabel('Bandwidth', fontsize=13, fontweight='bold')
ax.set_ylabel('Estimated RDD Effect', fontsize=13, fontweight='bold')
ax.set_title('Sensitivity to Bandwidth Choice', fontsize=15, fontweight='bold')
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

RDD 的统计推断

标准误的计算

异方差稳健标准误（HC1/HC2）：

python

model = smf.ols('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df_local).fit(cov_type='HC2')
print(model.summary())

聚类标准误（如果有聚类结构）：

python

# 假设数据在学校层面聚类
model_cluster = smf.ols('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df_local).fit(
    cov_type='cluster', cov_kwds={'groups': df_local['school_id']}
)

置信区间的构建

常规置信区间（基于渐近正态性）：

稳健置信区间（CCT 方法，考虑有限样本偏差）：

python

from rdrobust import rdrobust

# CCT 稳健置信区间
result = rdrobust(y=df['Y'], x=df['X'], c=c)
print(f"点估计: {result.coef[0]:.3f}")
print(f"稳健95% CI: [{result.ci[0][0]:.3f}, {result.ci[0][1]:.3f}]")

Bootstrap 置信区间：

python

from scipy.stats import bootstrap

def rdd_estimator(data, indices):
    """RDD 估计量（用于 bootstrap）"""
    df_boot = data.iloc[indices]
    df_boot_local = df_boot[np.abs(df_boot['X_c']) <= h]
    model = smf.ols('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df_boot_local).fit()
    return model.params['D']

# Bootstrap（1000次重抽样）
n_boot = 1000
boot_estimates = []
for _ in range(n_boot):
    indices = np.random.choice(len(df), len(df), replace=True)
    boot_estimates.append(rdd_estimator(df, indices))

boot_estimates = np.array(boot_estimates)
ci_lower = np.percentile(boot_estimates, 2.5)
ci_upper = np.percentile(boot_estimates, 97.5)

print(f"Bootstrap 95% CI: [{ci_lower:.3f}, {ci_upper:.3f}]")

关键要点

Sharp RDD

识别条件：连续性假设（潜在结果在断点处连续）
估计量：断点处观察结果的跳跃
因果解释：断点处的局部平均处理效应（LATE）
最佳实践：使用局部线性回归 + 自动带宽选择（CCT）

Fuzzy RDD

本质：工具变量估计，断点作为IV
识别条件：连续性 + IV假设（相关性、排他性、单调性）
估计量：Wald 估计量（结果跳跃 / 处理跳跃）
因果解释：顺从者（Compliers）的LATE
检验：第一阶段要足够强（F > 10）

带宽选择

权衡：偏差（小带宽）vs 方差（大带宽）
最优方法：IK 或 CCT（自动数据驱动）
稳健性：报告多个带宽下的结果

本节总结

在本节中，我们学习了：

Sharp RDD 的严格数学推导（从潜在结果框架出发）
Fuzzy RDD 与工具变量的深刻联系
局部平均处理效应（LATE）的含义和局限性
参数（多项式）vs 非参数（局部线性）方法的权衡
带宽选择的理论和实践（IK, CCT）
完整的Python实现和稳健推断

下一步：在第3节中，我们将学习如何检验RDD的核心假设，包括连续性假设、密度检验（McCrary Test）和协变量平衡。

理论扎实，实证才能可信！

11.2 RDD 原理与识别策略 ​

本节概要 ​

Sharp RDD 的识别理论 ​

潜在结果框架的回顾 ​

RDD 的识别逻辑 ​

识别策略的推导 ​

Fuzzy RDD：不完美的断点规则 ​

Fuzzy RDD 的动机 ​

Fuzzy RDD 的定义 ​

Fuzzy RDD 的识别：工具变量方法 ​

Fuzzy RDD 的因果解释 ​

参数 vs 非参数估计方法 ​

方法 1：全局多项式回归 ​

方法 2：局部线性回归（推荐） ​

方法 3：核加权局部线性回归 ​

️ 带宽选择的权衡 ​

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff） ​

最优带宽选择方法 ​

1. Imbens-Kalyanaraman (IK) 方法（2012） ​

2. Calonico-Cattaneo-Titiunik (CCT) 方法（2014） ​

交叉验证（Cross-Validation） ​

Python 完整示例：Sharp vs Fuzzy RDD ​

示例 1：Sharp RDD ​

示例 2：Fuzzy RDD ​

示例 3：不同带宽的敏感性分析 ​

RDD 的统计推断 ​

标准误的计算 ​

置信区间的构建 ​

关键要点 ​

Sharp RDD ​

Fuzzy RDD ​

带宽选择 ​

本节总结 ​

11.2 RDD 原理与识别策略

本节概要

Sharp RDD 的识别理论

潜在结果框架的回顾

RDD 的识别逻辑

识别策略的推导

Fuzzy RDD：不完美的断点规则

Fuzzy RDD 的动机

Fuzzy RDD 的定义

Fuzzy RDD 的识别：工具变量方法

Fuzzy RDD 的因果解释

参数 vs 非参数估计方法

方法 1：全局多项式回归

方法 2：局部线性回归（推荐）

方法 3：核加权局部线性回归

️ 带宽选择的权衡

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）

最优带宽选择方法

1. Imbens-Kalyanaraman (IK) 方法（2012）

2. Calonico-Cattaneo-Titiunik (CCT) 方法（2014）

交叉验证（Cross-Validation）

Python 完整示例：Sharp vs Fuzzy RDD

示例 1：Sharp RDD

示例 2：Fuzzy RDD

示例 3：不同带宽的敏感性分析

RDD 的统计推断

标准误的计算

置信区间的构建

关键要点

Sharp RDD

Fuzzy RDD

带宽选择

本节总结