11.4 带宽选择与稳健性检验

"Bandwidth choice involves a fundamental bias-variance tradeoff.""带宽选择涉及基本的偏差-方差权衡。"— Guido Imbens & Karthik Kalyanaraman, Optimal Bandwidth Authors (最优带宽作者)

让你的RDD估计经得起审稿人的考验

本节概要

带宽选择是RDD实证分析中最关键的决策之一。本节将介绍：

最优带宽选择的理论与方法（IK, CCT）
敏感性分析（Sensitivity Analysis）
多项式阶数的选择
Donut-hole RDD（排除断点附近的观测）
完整的稳健性检验流程

️ 带宽选择的核心权衡

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）

均方误差（MSE）：

小带宽 ：

偏差小：局部线性近似更准确
方差大：样本量少，估计不稳定

大带宽 ：

方差小：样本量大，估计稳定
偏差大：可能违反局部线性假设

最优带宽 ：

渐近理论（Asymptotic Theory）

Fan & Gijbels (1996) 推导出最优带宽的渐近形式：

直觉：

样本量越大，最优带宽越小（可以用更局部的数据）
带宽以的速度收缩（比参数估计的慢）

自动带宽选择方法

方法 1：Imbens-Kalyanaraman (IK) 带宽（2012）

思路：基于MSE的渐近展开，推导数据驱动的最优带宽。

简化公式：

其中：

：常数（取决于核函数）
：断点左右两侧的残差方差
：驱动变量在断点处的密度
：潜在结果函数的二阶导数

Python 实现：

python

from rdrobust import rdbwselect

# IK 带宽选择
bw_ik = rdbwselect(y=df['Y'], x=df['X'], c=0, bwselect='mserd')
print(f"IK Bandwidth: {bw_ik.bws[0]:.2f}")

方法 2：Calonico-Cattaneo-Titiunik (CCT) 带宽（2014）

改进：

偏差校正：考虑有限样本的偏差
两个带宽：
- 主带宽 ：用于点估计
- 偏差带宽 ：用于估计和校正偏差

覆盖误差最优（Coverage Error Optimal, CEO）：

Python 实现（rdrobust 默认）：

python

from rdrobust import rdrobust

# CCT 方法（默认）
result_cct = rdrobust(y=df['Y'], x=df['X'], c=0)
print(f"CCT Main Bandwidth: {result_cct.bws[0]:.2f}")
print(f"CCT Bias Bandwidth: {result_cct.bws[1]:.2f}")

方法 3：交叉验证（Cross-Validation, CV）

留一法交叉验证：

对每个观测，移除它
用剩余数据拟合模型（带宽）
预测
计算预测误差：
选择最小化的

注意：只使用断点一侧的数据（避免利用跳跃本身）。

python

def cross_validation_bandwidth(df, X_col, Y_col, cutoff, h_candidates):
    """
    交叉验证选择带宽（简化版）

    参数:
    - df: 数据框
    - X_col, Y_col: 变量名
    - cutoff: 断点
    - h_candidates: 候选带宽列表
    """
    cv_scores = []

    for h in h_candidates:
        # 限制样本
        df_local = df[np.abs(df[X_col] - cutoff) <= h].copy()
        df_local['X_c'] = df_local[X_col] - cutoff
        df_local['D'] = (df_local[X_col] >= cutoff).astype(int)

        # 留一法CV（简化：用K-fold代替）
        from sklearn.model_selection import KFold
        kf = KFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=42)

        fold_mse = []
        for train_idx, test_idx in kf.split(df_local):
            df_train = df_local.iloc[train_idx]
            df_test = df_local.iloc[test_idx]

            # 拟合
            model = smf.ols(f'{Y_col} ~ D + X_c + D:X_c', data=df_train).fit()

            # 预测
            y_pred = model.predict(df_test)
            mse = np.mean((df_test[Y_col] - y_pred) ** 2)
            fold_mse.append(mse)

        cv_scores.append(np.mean(fold_mse))

    optimal_h = h_candidates[np.argmin(cv_scores)]
    return optimal_h, cv_scores

# 示例
h_candidates = np.arange(5, 30, 2)
optimal_h, cv_scores = cross_validation_bandwidth(df, 'X', 'Y', 0, h_candidates)
print(f"CV Optimal Bandwidth: {optimal_h:.2f}")

稳健性检验：敏感性分析

1. 多个带宽的比较

最佳实践：报告多个带宽下的估计结果。

python

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as smf
import matplotlib.pyplot as plt

# 尝试一系列带宽
bandwidths = [5, 10, 15, 20, 25, 30]
results = []

for h in bandwidths:
    df_local = df[np.abs(df['X']) <= h].copy()
    df_local['X_c'] = df_local['X']
    df_local['D'] = (df_local['X'] >= 0).astype(int)

    model = smf.ols('Y ~ D + X_c + D:X_c', data=df_local).fit()

    results.append({
        'bandwidth': h,
        'effect': model.params['D'],
        'se': model.bse['D'],
        'ci_lower': model.conf_int().loc['D', 0],
        'ci_upper': model.conf_int().loc['D', 1],
        'n_obs': len(df_local)
    })

results_df = pd.DataFrame(results)

# 可视化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))

ax.plot(results_df['bandwidth'], results_df['effect'],
        'o-', linewidth=2, markersize=8, label='Point Estimate')

ax.fill_between(results_df['bandwidth'],
                results_df['ci_lower'],
                results_df['ci_upper'],
                alpha=0.3, label='95% CI')

ax.axhline(y=0, color='black', linestyle='--', linewidth=1)
ax.set_xlabel('Bandwidth', fontsize=13, fontweight='bold')
ax.set_ylabel('RDD Effect Estimate', fontsize=13, fontweight='bold')
ax.set_title('Sensitivity to Bandwidth Choice', fontsize=15, fontweight='bold')
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 打印表格
print("=" * 80)
print("带宽敏感性分析")
print("=" * 80)
print(results_df.to_string(index=False))

解释：

稳健：如果估计在不同带宽下大致稳定 → 结果可信
不稳健：如果估计随带宽剧烈波动 → 需要进一步调查

2. 多项式阶数的敏感性

警告（Gelman & Imbens 2019）：不要使用高阶多项式（）！

原因：

高阶多项式容易过拟合
远离断点的数据会过度影响断点处的估计
置信区间可能过于乐观

建议：

使用局部线性（，推荐）
如果需要，最多使用局部二次（）
避免

python

# 比较不同多项式阶数
poly_orders = [1, 2, 3]
poly_results = []

for p in poly_orders:
    df_local = df[np.abs(df['X']) <= 20].copy()
    df_local['X_c'] = df_local['X']
    df_local['D'] = (df_local['X'] >= 0).astype(int)

    # 构建公式
    formula_terms = ['D', 'X_c']
    for k in range(2, p + 1):
        formula_terms.append(f'I(X_c**{k})')

    # 添加交互项
    for term in formula_terms[1:]:
        formula_terms.append(f'D:{term}')

    formula = 'Y ~ ' + ' + '.join(formula_terms)

    model = smf.ols(formula, data=df_local).fit()

    poly_results.append({
        'polynomial_order': p,
        'effect': model.params['D'],
        'se': model.bse['D'],
        'ci_lower': model.conf_int().loc['D', 0],
        'ci_upper': model.conf_int().loc['D', 1]
    })

poly_df = pd.DataFrame(poly_results)

print("\n" + "=" * 80)
print("多项式阶数敏感性分析")
print("=" * 80)
print(poly_df.to_string(index=False))
print("\n建议：使用线性（p=1）或二次（p=2），避免高阶")

3. Donut-hole RDD

动机：排除极接近断点的观测，检验结果是否稳健。

原因：

如果存在精确操控，最可能发生在断点附近
如果排除这些观测后结果依然稳健，增强可信度

实施：

定义"洞"的大小（如）
排除的观测
重新估计RDD

python

def donut_rdd(df, X_col, Y_col, cutoff, donut_size, bandwidth):
    """
    Donut-hole RDD

    参数:
    - df: 数据框
    - X_col, Y_col: 变量名
    - cutoff: 断点
    - donut_size: 洞的大小（排除 |X - c| < donut_size 的观测）
    - bandwidth: 带宽
    """
    df_donut = df[
        (np.abs(df[X_col] - cutoff) >= donut_size) &
        (np.abs(df[X_col] - cutoff) <= bandwidth)
    ].copy()

    df_donut['X_c'] = df_donut[X_col] - cutoff
    df_donut['D'] = (df_donut[X_col] >= cutoff).astype(int)

    model = smf.ols(f'{Y_col} ~ D + X_c + D:X_c', data=df_donut).fit()

    return {
        'donut_size': donut_size,
        'effect': model.params['D'],
        'se': model.bse['D'],
        'n_dropped': len(df[(np.abs(df[X_col] - cutoff) < donut_size)]),
        'n_used': len(df_donut)
    }

# 尝试不同洞的大小
donut_sizes = [0, 1, 2, 3, 5]
donut_results = []

for ds in donut_sizes:
    result = donut_rdd(df, 'X', 'Y', 0, ds, 20)
    donut_results.append(result)

donut_df = pd.DataFrame(donut_results)

print("\n" + "=" * 80)
print("Donut-hole RDD 检验")
print("=" * 80)
print(donut_df.to_string(index=False))
print("\n如果估计稳健，说明结果不受极近断点观测的影响")

完整稳健性检验流程

综合报告

python

def rdd_robustness_report(df, X_col, Y_col, cutoff):
    """
    生成完整的 RDD 稳健性检验报告

    参数:
    - df: 数据框
    - X_col: 驱动变量
    - Y_col: 结果变量
    - cutoff: 断点
    """
    from rdrobust import rdrobust

    print("=" * 80)
    print(" " * 25 + "RDD 稳健性检验报告")
    print("=" * 80)

    df = df.copy()
    df['X_c'] = df[X_col] - cutoff
    df['D'] = (df[X_col] >= cutoff).astype(int)

    # 1. 基准估计（CCT 最优带宽）
    print("\n【1】基准估计（CCT 最优带宽）")
    print("-" * 80)
    baseline = rdrobust(y=df[Y_col], x=df[X_col], c=cutoff)
    print(f"最优带宽: {baseline.bws[0]:.2f}")
    print(f"RDD 效应: {baseline.coef[0]:.4f}")
    print(f"稳健 SE: {baseline.se[0]:.4f}")
    print(f"稳健 p-value: {baseline.pval[0]:.4f}")
    print(f"95% CI: [{baseline.ci[0][0]:.4f}, {baseline.ci[0][1]:.4f}]")

    # 2. 带宽敏感性
    print("\n【2】带宽敏感性分析")
    print("-" * 80)
    h_baseline = baseline.bws[0]
    bandwidths = [0.5 * h_baseline, 0.75 * h_baseline, h_baseline,
                  1.25 * h_baseline, 1.5 * h_baseline]

    bw_results = []
    for h in bandwidths:
        df_local = df[np.abs(df['X_c']) <= h]
        if len(df_local) > 50:
            model = smf.ols(f'{Y_col} ~ D + X_c + D:X_c', data=df_local).fit()
            bw_results.append({
                'Bandwidth': f'{h:.2f}',
                'Effect': f"{model.params['D']:.4f}",
                'SE': f"{model.bse['D']:.4f}",
                'N': len(df_local)
            })

    bw_df = pd.DataFrame(bw_results)
    print(bw_df.to_string(index=False))

    # 3. 多项式阶数
    print("\n【3】多项式阶数敏感性")
    print("-" * 80)
    poly_results = []

    for p in [1, 2]:
        df_local = df[np.abs(df['X_c']) <= h_baseline]
        formula_parts = ['D', 'X_c']
        for k in range(2, p + 1):
            formula_parts.append(f'I(X_c**{k})')
        for part in formula_parts[1:]:
            formula_parts.append(f'D:{part}')

        formula = f'{Y_col} ~ ' + ' + '.join(formula_parts)
        model = smf.ols(formula, data=df_local).fit()

        poly_results.append({
            'Polynomial': f'p={p}',
            'Effect': f"{model.params['D']:.4f}",
            'SE': f"{model.bse['D']:.4f}"
        })

    poly_df = pd.DataFrame(poly_results)
    print(poly_df.to_string(index=False))

    # 4. Donut-hole
    print("\n【4】Donut-hole RDD")
    print("-" * 80)
    donut_results = []

    for ds in [0, 1, 2, 5]:
        df_donut = df[
            (np.abs(df['X_c']) >= ds) &
            (np.abs(df['X_c']) <= h_baseline)
        ]
        if len(df_donut) > 50:
            model = smf.ols(f'{Y_col} ~ D + X_c + D:X_c', data=df_donut).fit()
            donut_results.append({
                'Donut': ds,
                'Effect': f"{model.params['D']:.4f}",
                'N_dropped': len(df[np.abs(df['X_c']) < ds]),
                'N_used': len(df_donut)
            })

    donut_df = pd.DataFrame(donut_results)
    print(donut_df.to_string(index=False))

    print("\n" + "=" * 80)
    print(" " * 30 + "报告结束")
    print("=" * 80)

# 生成报告
rdd_robustness_report(df, 'X', 'Y', 0)

实践中的最佳实践

带宽选择的建议

默认使用 CCT 最优带宽（rdrobust 默认）
报告多个带宽下的估计（如 0.5h, 0.75h, h, 1.25h, 1.5h）
检查敏感性：如果结果在合理范围内的带宽下稳定 → 可信

多项式阶数的建议

主结果：使用局部线性（）
稳健性：检查局部二次（）
避免：不要使用

报告清单

论文中应报告的内容：

主效应估计（CCT 最优带宽 + 稳健SE）
带宽敏感性（表格或图形）
有效性检验：

协变量平衡
McCrary 密度检验
安慰剂检验

多项式阶数敏感性（可选）
Donut-hole 检验（如果担心操控）

关键要点

带宽选择

MSE 最优：IK 和 CCT 方法（推荐 CCT）
自动化：使用 rdrobust 包的默认设置
稳健性：报告多个带宽下的结果

稳健性检验

带宽敏感性：估计应在合理范围内稳定
多项式阶数：避免高阶（）
Donut-hole：排除极近断点观测，检验稳健性

报告规范

主结果：CCT + 稳健置信区间
稳健性表格：带宽、多项式、donut-hole
有效性检验：协变量、密度、安慰剂

本节总结

在本节中，我们学习了：

带宽选择的理论（偏差-方差权衡）
自动带宽选择方法（IK, CCT）
敏感性分析（带宽、多项式阶数）
Donut-hole RDD
完整的稳健性检验流程

关键教训：

"RDD 的可信度不仅取决于点估计，更取决于结果在各种规格下的稳健性。审稿人会仔细检查这些！"

下一步：在第5节中，我们将复现经典RDD研究，包括 Angrist & Lavy (1999) 和 Lee (2008)。

严格稳健性检验，让你的研究经得起考验！

11.4 带宽选择与稳健性检验 ​

本节概要 ​

️ 带宽选择的核心权衡 ​

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff） ​

渐近理论（Asymptotic Theory） ​

自动带宽选择方法 ​

方法 1：Imbens-Kalyanaraman (IK) 带宽（2012） ​

方法 2：Calonico-Cattaneo-Titiunik (CCT) 带宽（2014） ​

方法 3：交叉验证（Cross-Validation, CV） ​

稳健性检验：敏感性分析 ​

1. 多个带宽的比较 ​

2. 多项式阶数的敏感性 ​

3. Donut-hole RDD ​

完整稳健性检验流程 ​

综合报告 ​

实践中的最佳实践 ​

带宽选择的建议 ​

多项式阶数的建议 ​

报告清单 ​

关键要点 ​

带宽选择 ​

稳健性检验 ​

报告规范 ​

本节总结 ​

11.4 带宽选择与稳健性检验

本节概要

️ 带宽选择的核心权衡

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）

渐近理论（Asymptotic Theory）

自动带宽选择方法

方法 1：Imbens-Kalyanaraman (IK) 带宽（2012）

方法 2：Calonico-Cattaneo-Titiunik (CCT) 带宽（2014）

方法 3：交叉验证（Cross-Validation, CV）

稳健性检验：敏感性分析

1. 多个带宽的比较

2. 多项式阶数的敏感性

3. Donut-hole RDD

完整稳健性检验流程

综合报告

实践中的最佳实践

带宽选择的建议

多项式阶数的建议

报告清单

关键要点

带宽选择

稳健性检验

报告规范

本节总结