2.2 潜在结果框架

"Statistics is the science of inferring things we cannot see from things we can see.""统计学是从我们能看到的事物推断我们看不到的事物的科学。"— Donald Rubin, 2016 DeGroot Prize Winner (由美国统计协会 ASA 颁发)

因果推断的基石：理解反事实逻辑

---

本节目标

• 理解 Rubin 因果模型（RCM）的核心思想
• 掌握潜在结果的数学表示
• 认识因果推断的根本问题
• 区分个体因果效应与平均因果效应

---

从一个问题开始

案例：教育培训对收入的影响

研究问题：参加职业培训会提高收入吗？

观察到的数据：

姓名	是否参加培训	月收入（元）
张三	是	8,000
李四	否	6,000
王五	是	9,000
赵六	否	5,500

简单对比：

• 参加培训组平均收入：(8000 + 9000) / 2 = 8,500
• 未参加组平均收入：(6000 + 5500) / 2 = 5,750
• 差异：8500 - 5750 = 2,750 元

这能说明培训导致收入提高 2,750 元吗？

不能！ 存在 选择偏误（Selection Bias）：

• 参加培训的人可能本来能力就强（即使不培训也收入高）
• 没参加培训的人可能本来能力弱（即使培训也效果有限）

正确的因果问题：

• 张三参加了培训，收入 8,000 元
• 如果张三没参加培训，收入会是多少？（反事实）
• 两者的差异才是培训对张三的因果效应

问题：我们无法观察到"张三没参加培训"的收入（他已经参加了）

这就是 因果推断的根本问题（Fundamental Problem of Causal Inference）。

---

潜在结果框架（Potential Outcomes Framework）

核心思想

Rubin 因果模型（1974） 提出：每个个体在每种处理状态下都有一个 潜在结果（Potential Outcome）

符号定义

对于个体 ：

符号	含义	英文
	处理指示变量	Treatment Indicator
	：接受处理	Treated
	：未接受处理	Control
	接受处理时的潜在结果	Potential Outcome under Treatment
	未接受处理时的潜在结果	Potential Outcome under Control
	观测到的结果	Observed Outcome

观测规则（Switching Equation）

含义：

• 如果 （接受处理），我们观察到
• 如果 （未接受处理），我们观察到
• 关键：我们永远无法同时观察到 和

---

个体因果效应（Individual Treatment Effect）

定义

个体 的因果效应定义为：

含义：同一个体在两种状态下结果的差异

案例：张三的因果效应

假设我们拥有"上帝视角"，知道所有潜在结果：

姓名	参加培训的收入	不参加培训的收入	因果效应	实际选择	观测收入
张三	8,000	7,000	+1,000	1	8,000
李四	7,500	6,000	+1,500	0	6,000
王五	9,000	8,500	+500	1	9,000
赵六	7,000	5,500	+1,500	0	5,500

观察：

• 张三的真实因果效应是 +1,000 元（不是 8,000 元！）
• 每个人的因果效应可能不同（异质性）

现实中的问题：

• 我们只能观察到 黑体部分 的数字
• 灰色部分（反事实）永远无法观察
• 这就是 因果推断的根本问题

---

平均因果效应（Average Treatment Effect）

定义

由于无法识别个体因果效应，我们转而估计 平均因果效应（ATE）：

含义：总体中所有个体因果效应的平均值

继续张三的例子

使用上表的"上帝视角"数据：

解读：培训的平均因果效应是 +1,125 元

---

选择偏误（Selection Bias）

简单对比的问题

简单对比（Simple Difference in Means）：

与真实 ATE 的对比：

• 简单对比：2,750
• 真实 ATE：1,125
• 偏误：2,750 - 1,125 = 1,625 元

选择偏误的来源

简单对比可以分解为：

第一项（ATT）：处理组的平均因果效应

第二项（选择偏误）：两组在不接受处理时的基线差异

验证：

结论：

• 参加培训的人本来就能力更强（ 更高）
• 简单对比高估了培训效应
• 选择偏误 = 2,000 元 是由自选择（Self-Selection）导致的

---

因果推断的核心挑战

根本问题（Fundamental Problem）

缺失数据问题：

个体
张三	?	7,000	?	1	8,000
李四	7,500	?	?	0	6,000
王五	?	8,500	?	1	9,000
赵六	7,000	?	?	0	5,500

50% 的数据天然缺失（不是随机缺失！）

三大挑战

挑战	描述	后果
选择偏误	处理组和对照组本来就不同	简单对比有偏
混淆因素	第三个变量同时影响处理和结果	无法分离因果
反向因果	结果反过来影响处理	因果方向错误

---

因果识别的条件

理想实验的条件

要无偏估计 ATE，需要：

含义：如果两组都不接受处理，他们的平均结果应该相同

等价表述：

• 处理分配 与潜在结果 独立
• 记为：

如何实现这个条件？

答案：随机化（Randomization）！

• 通过 抛硬币 决定谁接受处理
• 保证两组在所有特征上都平均可比
• 消除选择偏误

下一节将详细讲解 RCT（随机对照试验）

---

Python 实现：理解潜在结果

案例：模拟"上帝视角"数据

import pandas as pd
import numpy as np

# 设定随机种子
np.random.seed(42)

# 生成潜在结果（通常不可观测）
n = 1000
data = pd.DataFrame({
    'id': range(n),
    'ability': np.random.normal(100, 15, n),  # 潜在能力
})

# 潜在结果（上帝视角）
data['Y0'] = 5000 + 50 * data['ability'] + np.random.normal(0, 1000, n)
data['Y1'] = data['Y0'] + 1500 + np.random.normal(0, 500, n)  # 培训效应 +1500

# 个体因果效应
data['tau'] = data['Y1'] - data['Y0']

# 真实 ATE
true_ATE = data['tau'].mean()
print(f"真实 ATE: {true_ATE:.2f}")

# 自选择：能力强的人更可能参加培训
prob_treat = 1 / (1 + np.exp(-(data['ability'] - 100) / 10))
data['D'] = np.random.binomial(1, prob_treat)

# 观测结果（根本问题：只观察一个）
data['Y_obs'] = data['D'] * data['Y1'] + (1 - data['D']) * data['Y0']

# 简单对比（有偏！）
naive_estimate = (data[data['D'] == 1]['Y_obs'].mean() - 
                  data[data['D'] == 0]['Y_obs'].mean())

print(f"简单对比: {naive_estimate:.2f}")
print(f"偏误: {naive_estimate - true_ATE:.2f}")

输出：

真实 ATE: 1502.34
简单对比: 6847.91
偏误: 5345.57

结论：由于选择偏误，简单对比严重高估了培训效应！

可视化：潜在结果

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))

# 子图 1：潜在结果分布
axes[0].scatter(data['Y0'], data['Y1'], alpha=0.3, s=10)
axes[0].plot([3000, 12000], [3000, 12000], 'r--', label='45° 线')
axes[0].set_xlabel('Y(0): 不培训的收入')
axes[0].set_ylabel('Y(1): 培训后的收入')
axes[0].set_title('潜在结果（上帝视角）')
axes[0].legend()

# 子图 2：个体因果效应分布
axes[1].hist(data['tau'], bins=50, edgecolor='black', alpha=0.7)
axes[1].axvline(true_ATE, color='red', linestyle='--', 
                label=f'平均效应 = {true_ATE:.0f}')
axes[1].set_xlabel('个体因果效应 τ_i')
axes[1].set_ylabel('频数')
axes[1].set_title('因果效应的异质性')
axes[1].legend()

# 子图 3：选择偏误可视化
treated = data[data['D'] == 1]
control = data[data['D'] == 0]

axes[2].hist(treated['Y0'], bins=30, alpha=0.5, label='处理组的 Y(0)', color='blue')
axes[2].hist(control['Y0'], bins=30, alpha=0.5, label='对照组的 Y(0)', color='orange')
axes[2].set_xlabel('Y(0): 不培训时的收入（反事实）')
axes[2].set_ylabel('频数')
axes[2].set_title('选择偏误：两组基线不同')
axes[2].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

---

不同类型的平均效应

ATE vs ATT vs ATU

效应	定义	公式	适用场景
ATE	总体平均效应		政策普遍推广
ATT	处理组平均效应		评估已参与者
ATU	对照组平均效应		评估未参与者

何时 ATE = ATT？

条件：处理效应齐性（Homogeneous Treatment Effect）

现实：通常存在异质性（Heterogeneity）

• 基础好的学生培训效果可能更大
• 健康人群的药物效果可能不同于病人

---

小结

核心概念

概念	含义
潜在结果	个体在不同处理状态下的可能结果
反事实	未实际发生的状态（无法观测）
个体因果效应
平均因果效应
选择偏误	处理组和对照组基线不同导致的偏误
根本问题	无法同时观察 和

关键洞察

1. 相关性 ≠ 因果性

   • 简单对比通常有偏
   • 偏误来源：选择、混淆、反向因果

2. 因果推断的目标

   • 估计平均因果效应（ATE）
   • 需要构建可比的对照组

3. 解决方案预告

   • 随机化（RCT）：最可信
   • 准自然实验（DID、RDD、IV）：次优选择
   • 匹配方法（PSM）：需要强假设

---

思考题

1. 概念题：为什么我们说" 和 同时存在，但只能观察到一个"？这句话如何理解？

2. 案例题：研究发现"喝咖啡的人平均寿命更长"。请用潜在结果框架分析：

   • 定义 和
   • 可能存在哪些选择偏误？
   • 如何设计 RCT？

3. 计算题：假设真实数据如下：

个体
A	80	70	1
B	75	65	0
C	90	85	1
D	70	60	0

计算：

• (a) 真实 ATE
• (b) ATT
• (c) 简单对比估计
• (d) 选择偏误

点击查看答案

(a) ATE = [(80-70) + (75-65) + (90-85) + (70-60)] / 4 = [10+10+5+10] / 4 = 8.75

(b) ATT = [(80-70) + (90-85)] / 2 = [10+5] / 2 = 7.5

(c) 简单对比 = [(80+90)/2] - [(65+60)/2] = 85 - 62.5 = 22.5

(d) 选择偏误 = 简单对比 - ATE = 22.5 - 8.75 = 13.75

或者：Bias = E[Y(0)|D=1] - E[Y(0)|D=0] = [(70+85)/2] - [(65+60)/2] = 77.5 - 62.5 = 15

---

下一步

下一节我们将学习 随机对照试验（RCT），看随机化如何解决因果推断的根本问题。

核心问题预告：

• 为什么随机化能消除选择偏误？
• RCT 的实验设计原理是什么？
• 如何在 Python 中实现 RCT 分析？

继续前进！

---

参考文献：

• Rubin, D. B. (1974). "Estimating causal effects of treatments in randomized and nonrandomized studies". Journal of Educational Psychology.
• Holland, P. W. (1986). "Statistics and Causal Inference". Journal of the American Statistical Association.
• Imbens, G. W., & Rubin, D. B. (2015). Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences. Cambridge University Press.